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[阳光启学]2023届全国统一考试标准模拟信息卷(三)3数学试卷答案

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14．在△ABC中，D是AB边的中点，试用$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BC}$表示向量$\overrightarrow{CD}$，则$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$．

分析（1）直接运用倍角公式，降幂公式化简原式，出列等量关系式解出B+C；
（2）运用正弦定理和面积公式求三角形面积的最值．

解答解：（1）因为2sin（B-$\frac{π}{12}$）cos（B-$\frac{π}{12}$）+2sin²（C-$\frac{π}{3}$）=1，
所以，sin（2B-$\frac{π}{6}$）=cos（2C-$\frac{2π}{3}$），
所以，（2B-$\frac{π}{6}$）+（2C-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{2}$或$\frac{5π}{2}$，
整理得，2（B+C）=$\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
所以，B+C=$\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{6}$，
即A=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$；
（2）因为A=$\frac{π}{3}$，根据正弦定理，
b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=4sinB，c=$\frac{a}{sinA}$•sinC=4sinC，
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=4$\sqrt{3}$sinBsinC
=2$\sqrt{3}$[cos（B-C）-cos（B+c）]=2$\sqrt{3}$[cos（B-C）+$\frac{1}{2}$]，
由于B+C=$\frac{2π}{3}$，B-C∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
所以，cos（B-C）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
因此（S_△ABC）_max=2$\sqrt{3}$×（1+$\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{3}$，
即三角形ABC面积的最大值为3$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及运用正弦定理解三角形和三角最值的确定，属于中档题．

[阳光启学]2023届全国统一考试标准模拟信息卷(三)3数学