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天壹名校联盟·2022年下学期高二期末考试(1月)数学试卷答案

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18．已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱AA₁=2，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

分析（1）利用三角形的内角关系以及两角和的正弦公式解答即可；
（2）利用三角形的面积公式得到ab，结合正弦定理求出BC的长度．

解答解：（1）已知△ABC中，cosB=$\frac{5}{13}$，cosC=$\frac{4}{5}$．
所以sinB=$\frac{12}{13}$，sinC=$\frac{3}{5}$，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}+\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$；
（2）面积S_△ABC=$\frac{33}{2}$=$\frac{1}{2}absinC$，得到sinC=$\frac{33}{ab}$=$\frac{3}{5}$，所以ab=55，又有正弦定理得到$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得到$\frac{a}{\frac{63}{65}}=\frac{55}{\frac{12}{13}a}$解得a=$\frac{\sqrt{231}}{2}$，即BC=$\frac{\sqrt{231}}{2}$．

点评本题考查了两角和的正弦公式以及正弦定理、三角形面积公式的运用解三角形．

天壹名校联盟·2022年下学期高二期末考试(1月)数学