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2022-2023衡中同卷上学期高三年级六调考(新教材/新高考版)数学试卷答案

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4．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值．

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线经过点P（1，2），倾斜角为$\frac{π}{6}$，能求出直线的参数方程．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得${t}^{2}-（\sqrt{3}-1）t-3=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ²-4ρcosθ-2psinθ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x-2y=0，即（x-2）²+（y-1）²=5．
∵直线经过点P（1，2），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
∴直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=2+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，t为参数．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得（$\frac{\sqrt{3}}{2}t-1$）²+（1+$\frac{1}{2}t$）²=5，
整理，得${t}^{2}-（\sqrt{3}-1）t-3=0$，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=|-3|=3．

点评本题考查曲线的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两线段乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．

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