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辽宁省2022~2023学年度上学期高三期末联考(233381D)数学试卷答案

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7．已知等比数列{a_n}，满足a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}+\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{2}$，则a₃=（　　）

A．

-2

B．

2

C．

±2

D．

±4

分析（1）由题意和两角和与差的三角函数公式可得sinBsinC=$\frac{3}{4}$，结合正弦定理可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得A=60°或120°，验证排除A=120°即可；
（2）由余弦定理和已知可得b=c，再由面积公式可得bc=16，联立可得bc的值，进而可得a值，相加可得周长．

解答解：（1）∵cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）-cos（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsinC-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{3}{2}$，
∴sinBsinC=$\frac{3}{4}$，又∵a²=bc，
∴由正弦定理可得sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=60°或120°，
若A=120°，则cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）=2，显然矛盾，故A=60°；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
∵a²=bc，∴bc=b²+c²-bc，即（b-c）²=0，故b=c，
再由面积公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=4$\sqrt{3}$，故bc=16，
∴由b=c且bc=16可得b=c=4，
∴a²=bc=16，解得a=4，
∴△ABC的周长为4+4+4=12

点评本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．

辽宁省2022~2023学年度上学期高三期末联考(233381D)数学