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2023普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷(六)6数学试卷答案

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10．与函数y=10^lg（x-1）相等的函数是③（填序号）．
①y=x-1；②y=|x-1|；③$y={（\frac{x-1}{{\sqrt{x-1}}}）^2}$；④$y=\frac{{{x^2}-1}}{x+1}$．

分析若y=f（u），u=g（x），则y′=f′（u）•g′（x），结合已知中的解析式，结合复合函数的求导法则，可得答案．

解答解：（1）∵y=$\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}$，
令u=$xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}$，则y=${u}^{\frac{1}{2}}$
∴y′=（${u}^{\frac{1}{2}}$）′（$xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}$）′
=$\frac{（xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}）′}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{（xsinx）′（\sqrt{1-{e}^{x}}）+（xsinx）（\sqrt{1-{e}^{x}}）′}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{（sinx+xcosx）（\sqrt{1-{e}^{x}}）-（xsinx）（\frac{{e}^{x}}{2\sqrt{1-{e}^{x}}}）}{2\sqrt{xsinx\sqrt{1-{e}^{x}}}}$
=$\frac{2（sinx+xcosx）（1-{e}^{x}）-（{e}^{x}xsinx）}{4\sqrt{xsinx（1-{e}^{x}）}}$
（2）∵y=$\frac{\sqrt{x+2}（3-x）^{4}}{（x+1）^{5}}$．
∴y′=$\frac{[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]′（x+1）^{5}-[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}][（x+1）^{5}]′}{{（x+1）}^{10}}$
=$\frac{[\frac{1}{2\sqrt{x+2}}{（3-x）}^{4}+\sqrt{x+2}•4{（3-x）}^{3}]{（x+1）}^{5}-[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]•5{（x+1）}^{4}}{{（x+1）}^{10}}$
=$\frac{[\frac{1}{2\sqrt{x+2}}{（3-x）}^{4}+\sqrt{x+2}•4{（3-x）}^{3}]{（x+1）}^{\;}-5[\sqrt{x+2}{（3-x）}^{4}]}{{（x+1）}^{6}}$

点评本题考查的知识点是复合函数求导，运算量比较大，属于难题．

2023普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷(六)6数学