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炎德英才大联考 2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一1数学试卷答案

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15．某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a-$\frac{13}{1000}$x）万元（a＞0）．
（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．
（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．

分析由抛物线和圆关于x轴对称，可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），运用两点的距离公式，可得b，再由圆的方程可得a，代入抛物线的方程，可得p，求得m，再由抛物线的定义，即可得到所求距离．

解答解：由抛物线和圆关于x轴对称，
可设A（a，b）（a，b＞0），B（a，-b），
由|AB|=2$\sqrt{3}$，可得2b=2$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{3}$，由a²+b²=4，可得a=1，
将（1，$\sqrt{3}$）代入抛物线的方程，可得3=2p，
解得p=$\frac{3}{2}$，
即有抛物线的方程为y²=3x，
准线方程为x=-$\frac{3}{4}$，
即点P（m，3$\sqrt{3}$）为（9，3$\sqrt{3}$），
P到F的距离为P到准线的距离，即有
9+$\frac{3}{4}$=$\frac{39}{4}$．
故选：D．

点评本题考查抛物线的定义和方程的运用，同时考查圆的方程的运用，注意运用对称性是解题的关键．

炎德英才大联考 2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练一1数学