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2023届衡中同卷 调研卷 全国卷(三)3数学试卷答案

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8．已知三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0交于一点，则坐标（m，n）可能是（　　）

A．

（-1，3）

B．

（3，-1）

C．

（-3，1）

D．

（-3，-1）

分析（1）先将函数化为f（x）=-3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），再根据正弦函数的单调区间确定该函数的单调区间；
（2）分别令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{3π}{2}$，使得函数取最小值与最大值，从而求出x；
（3）分别令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$或kπ，求得函数的对称轴和对称中心．

解答解：（1）f（x）=-3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$]，
即函数的单调递减区间为：[4kπ-$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$]（k∈Z）；
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]，
即函数的单调递增区间为：[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]（k∈Z）；
（2）函数的最大值为3，此时sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=-1，
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{11π}{3}$（k∈Z）；
函数的最大值为-3，此时sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1，
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{5π}{3}$（k∈Z）．
（3）令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=2kπ+$\frac{5π}{3}$，
即函数的对称轴方程为：x=2kπ+$\frac{5π}{3}$（k∈Z）；
再令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即函数的对称中心为（2kπ+$\frac{2π}{3}$，0）（k∈Z）；

点评本题主要考查了三角函数单调区间的解法，涉及三角函数的图象与性质，尤其是值域，对称中心和对称轴，属于中档题．

2023届衡中同卷 调研卷 全国卷(三)3数学