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2023届衡中同卷 调研卷 新高考/新教材(四)4数学试卷答案

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13.美国加利福尼亚洲有两个猴面花姐妹种——粉龙头和红龙头,起源于一个粉色花的祖先种,且分布区重叠,前者由黄蜂授粉,后者由蜂鸟授粉。红龙头细胞中编码类胡萝卜素分解酶的基因有缺陷,导致花瓣细胞中有类胡萝卜素积累,表现为红色。而粉龙头细胞中该基因是正常的,因此花瓣只呈现由花青素导致的粉红色。下列说法错误的是A.起源于同一祖先的两种猴面花种群的基因库存在差异B.传粉者的不同导致编码类胡萝卜素分解酶基因产生了不同的变异C.花色不是猴面花传递给传粉者的唯一信息,猴面花与传粉者间存在协同进化D.两种猴面花花色的差异由自然选择下的进化方向不同所致

分析由已知求得sinA、sinB、sinC的值，设出BC的长度，再由题意建系求出椭圆的方程，进一步求得椭圆E的离心率．

解答解：由tanA=$\frac{1}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又B=$\frac{π}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理可得BC：CA：AB=sinA：sinB：sinC=1：$\sqrt{5}$：$2\sqrt{2}$．
不妨取BC=1，CA=$\sqrt{5}$，AB=$2\sqrt{2}$．
以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建系（C在上方），D是C在AB上的射影．
求得AD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴点C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则a²=2，且$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：${b}^{2}=\frac{2}{3}$，
∴${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=\frac{4}{3}$．
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，是中档题．

2023届衡中同卷 调研卷 新高考/新教材(四)4数学