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衡水名师卷2022-2023学年度高三分科检测提分卷 151靶向提升(新教材)(五)5数学 考卷答案

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试题答案

衡水名师卷2022-2023学年度高三分科检测提分卷 151靶向提升(新教材)(五)5数学试卷答案

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20.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)
(1)试判断直线l是否过定点,若过定点,则求出定点,不过,则说明理由;
(2)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(3)求圆C截直线l所得的弦长的最小值及此时直线l的方程.

分析(1)设圆C的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=2,由于点C在直线y=x+1上,则b=a+1;圆C经过点P(5,4),可得(5-a)2+(4-b)2=2,联立解出即可得出;
(2)利用直线与圆相切的充要条件即可得出.

解答解:(1)设圆C的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=2,
∵点C在直线y=x+1上,则b=a+1,
∵圆C经过点P(5,4),∴(5-a)2+(4-b)2=2,
解得:a=4,b=5.
∴圆C:(x-4)2+(y-5)2=2.
(2)设直线l斜率为k,则直线l方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(4,5)到已知直线l的距离等于半径$\sqrt{2}$,
即$\frac{|4k-5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$,解得k=1或k=$\frac{23}{7}$.
所求切线方程是y=x-1,或$\frac{23}{7}$x-$\frac{23}{7}$.

点评本题考查了圆的标准方程及其应用、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

衡水名师卷2022-2023学年度高三分科检测提分卷 151靶向提升(新教材)(五)5数学

关于作者: yun

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