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2022-2023衡水金卷第一学期五校联盟高一期末联考(2月)数学试卷答案

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13．若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．
（1）已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+mx+m}}{x}$的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

分析f（x）=a^x-kx-a，（a＞0，a≠1）有且只有一个零点等价于y=a^x与y=kx+a只有一个交点，利用函数图象可得出答案．

解答解：∵f（x）有且只有一个零点，
∴a^x-kx-a=0只有一解．
即y=a^x与y=kx+a只有一个交点．
（1）当0＜a＜1时，作出函数图象如图：

显然y=a^x与y=kx+a只有一个交点，符合题意．
（2）当a＞1时，作出函数图象如图：

显然y=a^x与y=kx+a有两个交点，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是（0，1）．
故答案是（0，1）．

点评本题考查了函数零点的个数判断，正确作出函数图象是关键．

2022-2023衡水金卷第一学期五校联盟高一期末联考(2月)数学