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衡水金卷先享题·月考卷 2022-2023下学期高三一调考试(老高考)数学试卷答案

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9．已知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$存在，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n+1}}{1-{x}^{n}}$，则f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{0，x∈（-1，1）}\\{x，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）}\end{array}\right.$．

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的直角坐标方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C到直线的距离，由此能求出圆C上的点到直线L的最短距离．

解答（本小题满分12分）
解：（1）∵直线L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直线L的直角坐标方程为：3x+4y+6=0，
∵圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圆C的直角坐标方程为：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圆C：（x-2）²+（y-2）²=2的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（2，2）到直线3x+4y+6=0的距离d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圆C上的点到直线L的最短距离为4$-\sqrt{2}$．

点评本题考查直线和C的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最短距离的求法，解题时要注意点到直线距离公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．

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