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智慧上进2023届限时训练40分钟·题型专练卷(六)数学试卷答案
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1.已知数列{an}中,a1=6,且当n≥2时,$\frac{1}{3}$an=an-1+$\frac{1}{n}$an-1.
(1)求证:数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是等比数列;
(2)若对任意n∈N*,不等式3n2-2n-5<(2-λ)an恒成立,求实数λ的取值范围.
分析(1)利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)cn=(2n-1)×2n-1,再利用“错位相减法”与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
解答解:(1)数列{an}是等差数列,设其公差为d,
∵a1=1,a3+a7=18.
∴2+8d=18,
解得d=2.
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)∵cn=(2n-1)×2n-1,
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1,①
2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,②
①-②得-Tn=1+2(21+22+23+…+2n-1)-(2n-1)×2n,
整理得-Tn=1+2×$\frac{2-2n}{1-2}$-(2n-1)•2n=-(2n-3)×2n-3.
∴Tn=(2n-3)•2n+3.
点评本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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