2023年中考数学高频考点专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合）
1．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
4．（2022·广西柳州·统考三模）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于B点，A（﹣1，0），C（3，0）．
(1)求二次函数的解析式．
(2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点D作DF⊥x轴于F，交BC于E，求的最大值及此时点D的坐标．
(3)如图2，将二次函数y＝ax2＋bx＋3沿射线AB平移个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上一点，P是y＝ax2＋bx＋3的顶点，N为坐标平面内一点，使得以点P、A、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．
5．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点M是直线BE上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022秋·天津河北·九年级天津十四中校考期末）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022秋·浙江温州·九年级期末）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
9．（2022秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022秋·山东济南·九年级期末）如图．在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，点C的坐标为．已知点是线段上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作轴交抛物线于点P，交于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若，请求出m的值；
(3)是否存在这样的m，使得与相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由；
(4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标．
11．（2022秋·山西·九年级校联考期末）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N．
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
(1)求点，，的坐标；
(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线关于直线对称得到新抛物线，点E是原抛物线y和新抛物线的交点，F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、A、G为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F的坐标．
15．（2022秋·山西大同·九年级大同市第六中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标．
16．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作交直线BC于D，作轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标；
(3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该拋物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的拋物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
17．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕上一点逆时针旋转，与点重合．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在平面内存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出点的坐标．
参考答案：
1．(1)
(2)，
(3)或或或
2．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
3．(1)
(2)3，
(3)，，
4．(1)
(2)
(3)的坐标为或或或．
5．(1)y＝，点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，4）
(2)点P的坐标为(－1，3)
(3)存在，点M的坐标为：(，)或(，)
6．(1)
(2)当时，的值最大为，
(3)当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形
7．(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
8．(1)，
(2)，当时，S有最大值为
(3)满足条件的点P坐标为，，
9．(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，
10．(1)；
(2)；
(3)存在，m的值为0或3；
(4)存在，M点的坐标为或或或．
11．(1)
(2)①的最大值为；②存在这样的Q点，Q点的坐标为 或或
12．(1)
(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．
13．(1)，，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)存在，点的坐标为，，
14．(1)
(2)，
(3)或或．
15．(1)
(2)点的坐标为时，
(3)当点的坐标为时，点坐标为，当点的坐标为时，点坐标为
16．(1)
(2)的最大值为，此时
(3)点的坐标为：，，
17．(1)
(2) ()
(3)的坐标为()、()或()

2023年中考数学高频考点专题复习 特殊四边形问题（二次函数综合）（含简单答案）

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