忠县2022年秋季九年级期末考试
数 学 试 题
（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，必然事件是（ ）
A．路口遇绿灯 B．彩票中奖 C．3天后下雨 D．两奇数和为偶数
4．若过等边两边高线的交点旋转后与重合，则可能为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的外接圆，AB是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若三点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
7．关于一元二次方程有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在甲、乙两名百米超人参加的100米比赛中，若两人跑的路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数图象如图所示，其中乙满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙同时到达终点 B．甲的平均速度大于乙的平均速度
C．后4秒，甲的平均速度小于乙的平均速度 D．甲、乙的平均速度相同
9．如图，PA、PB、CE分别与相切于点A、B、D点，若圆O的半径为6，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
10，若a使关于x的分式方程有整数解；且使二次函数，当时y随x的增大而增大，那么满足条件的实数a的所有整数和为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿点C顺时针旋转，点B的对应点刚好与点A重合，得到，交AD于点E，则点A到的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知开口向下的抛物线经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③若方程有解、，满足，则，；④抛物线与直线交于P、Q两点，若，则或1．其中，正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．点关于原点对称的点的坐标是________．
14．在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，如果从袋中随机摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中随机摸出一个球，那么两次都摸到红球的概率是________．
15．如图，在中，，，，点O是斜边AB的中点，以点O为圆心，OB为半径在AB上方画半圆，则图中阴影部分的面积是________（用含的式子表示）
16货拉拉公司有甲、乙、丙三种货车若干，三种货车的每辆车日运货量之比为．为应对今年的货运高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量．调配后，乙货车数量增加一倍，甲、丙货车数量各减少，三种货车日运货总量增加．按调配后的运力，三种货车计划t天运完M处货物，但甲、丙两种货车在M处运了若干天后全部被派往N处执行新的任务，剩下的货物由乙种货车运完，结果运输总时间比原计划多了3天．若乙货车运输时间恰好为甲、丙两种货车在M处运输时间的4倍，则乙货车共运了________天．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．解方程：
（1）； （2）．
18．已知线段AB如图，用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．标上字母，不写作法．
（1）在答题卷上图①的上方作等边三角形ABC；
（2）在答题卷上图②的上方作正方形ABCD．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．已知二次函数的图像过点，顶点为C．
（1）求点C坐标；
（2）若A、B两点关于二次函数图像的对称轴对称，求的周长．
20．北京冬奥会激起了同学们的冰雪热情，为了解大家对冰雪运动知识的知晓情况，某中学健康社团从学校初中、高中学生中各随机抽取了15名同学进行了总分100分的测试，测试成绩用x（分）表示，分成4个组：A组：70以下；B组：；C组：；D组：．经统计，高中生测试成绩：75，82，70，100，81，100，82，88，95，89，100，86，90，93，86．初中生测试成绩条形统计图如图，且C组中的数据为：81，86，88．还知道初、高中同学测试成绩的平均数相同，初中生测试成绩的最高分和众数都是98．根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别写出初、高中生测试成绩的中位数和高中生测试成绩的众数；
（2）根据以上数据，你认为初中和高中哪个阶段的同学对冰雪知识掌握更好？请写出一条理由；
（3）该校初、高中学生共有2000人，若都参加测试，请估计该校学生能达到90分及以上的学生共有多少人？
21．若一次函数的图象与抛物线的图象交于，两点，抛物线的顶点为C．
（1）求一次函数，并在答题卷坐标系xoy中画出两函数的图象；
（2）观察图象，写出不等式的解集；
（3）连接OC，OB，BC，求的面积．
22．忠县柑橘品种主要包括有爱媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A网店仅将“爱媛”和“沃柑”装箱售卖，张老师买了2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱媛”，2箱“沃柑”，支付了130元．
（1）问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价是多少元？
（2）A网店经市场调查，按以上售价两种柑橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃柑”的售价每降低2元，则每天两种柑橘的销售总量将增加4箱．所以，该店决定对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变．降价销售后的第一天统计，销售总量中有是“爱媛”，且总销售金额为4080元，若降价后“沃柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价．求每箱“沃柑”的售价降低了多少元？
23．对于各数位上的数字均不为0的三位自然数A，若A能被它的各数位上的数字之和n整除，则称A是n阶“和倍数”．如，是15阶“和倍数”．又，而356不能被14整除，不是“和倍数”．
（1）判断195，434是否为“和倍数”？并说明理由；
（2）若三位自然数A是16阶“和倍数”，求出所有的A值．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为，1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线BD上方抛物线上一动点，连接PB，PD，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线BD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为新抛物线与y轴的交点，点G为的对称轴上任意一点，在上确定一点H，使得以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
25．在如图的中，，，，CD平分交AB于点D，点E为AC边上一点，点F为直线CD上一点，连接EF．将线段EF绕点E顺时针旋转得到线段EP，连接FP．
（1）如图①，当点E与点C重合，且PF的延长线过BC边的中点G时，连接DP，求线段DP的长；
（2）如图②，点E不与点A，C重合，PF的延长线交BC边于点G，求证：；
（3）如图③，E为线段AC上一动点，F为CD的中点，连接BF，Q为BC上一动点，连接FQ，将沿FQ翻折至所在的平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．
忠县2022年秋九年级期末考试数学参考答案及评分意见
一、选择题：（每题4分，共48分）
1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 11．B 12．C
二、填空题：（每题4分，共16分）
13． 14． 15． 16．24
三、解答题：（每题8分，共16分）
17．解：（1）原方程化为，； 4分
（2），，和． 8分
18．（1）作图略； 4分
（2）作图略． 8分
四、解答题：（每题10分，共70分）
19．解：（1）由题意得，，，
二次函数图像的顶点C坐标为； 5分
（2）由（1）知二次函数图像的对称轴是，而，
点，，的周长为． 10分
20．解：（1）初中生测试成绩的中位数是86，高中生测试成绩的中位数是88，高中生测试成绩的众数是100； 10分
（2）高中阶段的学生对冰雪知识的知识掌握得更好；
理由多，如：因为两个阶段的平均数一样，但高中阶段的中位数88高于初中阶段的中位数86，说明高中阶段的中间水平高于初中阶段； 6分
（3）由于达到90分及以上，初中有6人，高中有6人，故，
答：估计这2000名学生中达到90分及以上的人数有800人． 10分
21．证明：（1）把，代入抛物线解析式中，得，
，解得，一函数的解析式为：，作图略； 3分
（2）不等式的解集为：或； 6分
（3），点，
，的面积为． 10分
22．解：（1）设每箱“爱媛”x元，每箱“沃柑”y元，则可列方程组：
，解得，
答：每箱“爱媛”30元，每箱“沃柑”50元； 4分
（2）设每箱“沃柑”的售价应降低a元，则可列方程：
，
整理得：，即，
解得：，，
由题意可知，而，故，
答：每箱“沃柑”的售价降低了10元． 10分
23．解：（1），是15阶“和倍数”，
又余5，不是“和倍数”； 4分
（2）设，且，b，的整数，由题意知，且A能被16整除，即能被16整除，
能被16整除，能被16整除，，
或32，当时，，则，
或4或5，当时，，；当时，，；
当时，，不合要求；
同理，当时，，，或，，不合要求；
所以，所有的A值为736，448，592． 10分
24．解：（1）由题意得，代入抛物线解析式中得：
，解得，
抛物线的解析式为：； 2分
（2）由题意得点，抛物线的对称轴，
且点D与点C关于直线l对称，，
，直线BD的解析式为：，
设点，过点P作轴交BD于点M，
则，面积为，
由，
当时，面积取得最大值，最大值为8； 6分
（3）由题意得将抛物线向左，再向上都平移1个单位，
，由此也易得点、，
点G在对称轴上，设；点G在上，设，
（1）若、为该平行四边形的对角线，则，
解得；此时，
（2）若、为对角线，同理可得，
（3）若、为对角线，同理可得，
综上所述，符合条件的点H有，，． 10分
25．解：（1）连接DG，在中， ，点G为BC的中点，，
，，，，
平分，，，
，，点E、C重合，是等边三角形，
，，，
，四边形DGCP是矩形，． 4分
（2）过点F作于点M，交BC于点N，在中，
，①，又，
，在中，②，
是等边三角形，，，
而，，在与中，
，，，③，
由①②③可得； 8分
（3）由题意，线段EF长度的最大值为，
只有当、F、P三点共线，且点P在线段上时，长度的最小
所以，长度的最小值为． 10分

重庆市忠县2022-2023九年级上学期期末数学试题（含答案）

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