第三章整式乘除培优练习
一．选择题
如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：
①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°
正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
小航想利用一个废旧的包装盒制作一个正方体的小收纳箱，若该小收纳箱的棱长为2a3（cm），则该小收纳箱的体积为（　　）cm3．
A．6a6 B．8a8 C．8a9 D．6a12
我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．设2m＝3，2n＝6，2p＝12，下列关于m，n，p三者之间的关系正确的是（　　）
A．n2﹣mp＝1 B．m+n＝2p C．m+p＝2n D．p+n＝2m
如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（　　）
A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝2，S2﹣S3＝10，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（　　）
A．ma B．mb C．m D．a+b
如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH2＝AB×BH．设AB＝a，BH＝b．若ab＝45，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．25 B．26 C．28 D．30
如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
二、填空题
若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为　 　．
已知a+＝3，则a2+的值是　 　．
利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝　 　．
对于实数a，b，定义运算“ ”如下：a b＝（a+b）2+（a﹣b）2．若（m+2） （m﹣3）＝30，则m＝　 　．
如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重复地放在一个底面为长方形的盒子底部，其中小长方形卡片较短边长为a厘米，盒子底面长为10厘米，宽为5a厘米，盒子底面中未被卡片覆盖的部分用阴影A，B表示，若阴影A和B的面积相等，则a的值为　 　厘米．
如图，将边长为a的正方形剪去两个小长方形得到S图案，再将这两个小长方形拼成一个新的长方形，求新的长方形的周长　 　．
三、解答题
已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF＝GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值，”通常的解题方法是把x看作未知数，a，y看作已知数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0．则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，试求m的值；
（2）6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，如果当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足的关系是什么？
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，用6张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x，y的值．
两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
如图所示，有一块边长为（m+3n）米和（2m+n）米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为（m+2n）米，宽为（m+n）米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若m＝10，n＝20，求休息区域的面积；
（3）若游泳池面积和休息区域面积相等，且n≠0，求此时游泳池的长与宽的比值．
如图，点M是AB的中点，点P在线段MB上（与M，B不重合），分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF，设AB＝4a，MP＝b．
（1）若正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S1，用关于a，b的代数式表示S1（结果化成最简形式）；
（2）连接AE，AC．请求出图中阴影部分的面积S2（用关于a，b的代数式表示，结果化成最简形式）．
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，用上面得到的数学等式求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形拼出一个面积为（a+7b）（9a+4b）的长方形，求（x+y+z）的值．

第三章 整式的乘除 培优练习(无答案)2022-2023浙教版七年级数学下册

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