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江西省2024届八年级结课评估（5LR）数学试卷答案

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2．已知曲线C₁：ρ=4cosθ．
（1）在极坐标系中，与曲线C₁相切的一条直线方程为B
A．ρcosθ=2   B．ρsinθ=2   C．ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）   D．ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）
（2）已知曲线C₁的极坐标方程为：ρcosθ=3，则曲线C₁与C₂交点的极坐标为（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．

分析化切为弦，得到tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$，再通分，利用同角三角函数关系式、二倍角公式能证明tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

解答证明：tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{4}α-co{s}^{4}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{（\frac{1}{2}sin2α）^{2}}$=-$\frac{cos2α}{\frac{1}{4}si{n}^{2}2α}$=-$\frac{4cos2α}{si{n}^{2}2α}$
-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{2×2sin2αcos2α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{4soc2α}{si{n}^{2}2α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．
∴tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

点评本题考查三角形恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意化切为弦、同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．

江西省2024届八年级结课评估（5LR）数学

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