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安徽第一卷·2023年中考安徽名校大联考试卷（一）数学试卷答案

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14．设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

分析设f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，则f（x）是偶函数，且f（0）=0是其唯一解，从而a_n+1=2a_n+1，进而${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，由此b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，利用分组求和法和错位相减法求出${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$，由此能求出S₉．

解答解：∵数列{a_n}中a₁=1，关于x的方程x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1=0有唯一解，
∴设f（x）=x²-a_n+1•tan（cosx）+（2a_n+1）•tan1，
则f（x）是偶函数，
由题意得f（x）=0有唯一解，
∴f（0）=0是其唯一解，
∴0²-a_n+1•tan1+（2a_n+1）•tan1=0
a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴b_n=na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-n（n+1），②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}$．
∴S₉=8×2¹⁰+2-45=8149．
故选：D．

点评本题考查数列的前9项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、构造法、分组求和法和错位相减法的合理运用．

安徽第一卷·2023年中考安徽名校大联考试卷（一）数学

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