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2023河南开封二模高三3月联考数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

分析过M作⊙O切线交⊙C于R，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥$\frac{π}{6}$，|OM|≤2．再根据M（x₀，2+x₀），求得x₀的取值范围．

解答解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．
反过来，如果∠OMR≥$\frac{π}{6}$，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=$\frac{π}{6}$．
∴若圆O上存在点N，使∠OMN=$\frac{π}{6}$，则∠OMR≥$\frac{π}{6}$．
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M（x₀，2+x₀），|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2+x₀）²=2x₀²+4x₀+4，
∴2x₀²+4x₀+4≤4，解得，-2≤x₀≤0．
∴x₀的取值范围是[-2，0]，
故答案为：[-2，0]．

点评本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

2023河南开封二模高三3月联考数学

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