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山西省2023年中考总复习预测模拟卷（四）数学试卷答案

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19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆长轴的取值范围是（　　）

A．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

B．

[$\sqrt{3}$，2]

C．

[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]

D．

[$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$]

分析作出可行域，平移目标直线取最值可得4a+b=9，可得0＜a＜$\frac{9}{4}$，消元可得2a²+b²=18a²-72a+81，由二次函数区间的最值可得．

解答解：作出$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y+1≥0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数可得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{1}{b}$z，
平移目标直线可得当直线经过点A（4，1）时，z取最大值，
∴z_max=4a+b=9，由a＞0，b＞0可得b=9-4a＞0，
解得a＜$\frac{9}{4}$，故0＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴2a²+b²=2a²+（9-4a）²=18a²-72a+81，
由二次函数可知当a=-$\frac{-72}{2×18}$=2时，上式取最小值9
故选：C．

点评本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

山西省2023年中考总复习预测模拟卷（四）数学

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