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辽宁省名校联盟2025届高一3月份联合考试数学试卷答案

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4．函数f（x）对于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1成立．
（1）求证为R上的增函数；
（2）若$f（{\sqrt{m}}）+f（{\sqrt{m}•x}）＞f（{{x^2}-1}）+1$对一切满足$\frac{1}{16}≤m≤\frac{1}{4}$的m恒成立，求实数x的取值范围．

分析（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=0}\\{3x+4y-2=0}\end{array}\right.$可得两直线的交点坐标，由垂直关系可设所求的直线方程为2x+3y+c=0，代入解c的方程可得；
（2）由题意和平行关系可设所求直线方程为5x-12y+c=0（c≠6），由平行线的距离公式得c的方程，解方程可得．

解答解：（1）∵所求直线垂直于直线3x-2y+4=0，
∴由垂直关系可设所求的直线方程为2x+3y+c=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=0}\\{3x+4y-2=0}\end{array}\right.$可得两直线的交点A（-2，2），
把点A（-2，2）代入2x+3y+c=0可得c=-2，
故所求的直线方程为2x+3y-2=0；
（2）由题意和平行关系可设所求直线方程为5x-12y+c=0（c≠6），
由平行线的距离公式得$\frac{|c-6|}{\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}}$=2，解得c=32或c=-20，
∴所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0

点评本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，涉及方程组的解法和平行线间的距离公式，属基础题．

辽宁省名校联盟2025届高一3月份联合考试数学

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