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[甘肃一诊]2023年甘肃省第一次高考诊断考试数学试卷答案

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20．已知函数y=f（x），对任意的两个不相等的实数x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）成立，且f（0）≠0，则f（-2015）•f（-2014）•…f（-1）f（0）f（1）…•f（2014）•f（2015）的值是（　　）

A．

0

B．

1

C．

2006

D．

20062

分析（1）可画出图形，取AC的中点F，并连接OF，BF，容易说明AC⊥平面BOF，从而便可得到AC⊥OB，从而直线AC与OB所成的角便为直角；
（2）可取OC的中点G，并连接AG，BG，从而可得到OC⊥AB，连接DF，EF，便得到直角三角形DEF，且DF=EF=$\frac{1}{2}$，从而可以求出斜边DE的长．

解答解：如图，

（1）取AC中点F，连接OF，BF；
∵△ABC和△AOC都是等边三角形；
∴AC⊥OF，AC⊥BF，OF∩BF=F；
∴AC⊥平面BOF，OB?平面BOF；
∴AC⊥OB；
∴直线AC和OB所成的角为90°；
（2）取OC中点G，连接AG，BG，则：
OC⊥平面ABG；
∴OC⊥AB；
连接EF，DF，则EF∥AB，DF∥OC，且$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}，DF=\frac{1}{2}$；
∴EF⊥DF；
∴$DE=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评考查等边三角形的中线也是高线，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以及三角形中位线的性质，直角三角形的边的关系．

[甘肃一诊]2023年甘肃省第一次高考诊断考试数学

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