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2023届高考模拟卷(二)2数学试卷答案

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2．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$的最小值．

分析根据f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4为周期的函数，再根据函数的奇偶性原问题等价为：x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点．

解答解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，
且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，
再令x=-2代入f（x+4）=f（x）得，f（-2）=f（2）=-f（2），
所以，f（-2）=f（2）=0，
因此，要使f（x）=0在[-4，4]上有9个零点，
则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，
所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，
（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（-2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）
即令f（x）=ln（x²+a）=0，分离a得，a=1-x²，x∈（0，2），
解得a∈（-3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），
故答案为：（0，1）．

点评本题主要考查了函数零点的判定，涉及函数的图象和性质，尤其是奇偶性和周期性，属于中档题．

2023届高考模拟卷(二)2数学