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2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷(专家版一)数学试卷答案

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1．一家饭店有客房150间，每间每天住宿费100元时，客房全满，饭店要提高客房档次，提高住宿费增加收人，如果住宿费每间每天每增加20元，客房出租数就会减少10间，不考虑其他因素，饭店客房每间每天住宿费为多少元时，饭店的每天收入最高？

分析（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b+c=1，利用基本不等式的性质化为bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=1-3bc，利用基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）cosC+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosA=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，
∵cosA≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π）．
解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=1，
∴bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-bc=1-3bc≥1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当b=c=$\frac{1}{2}$时取等号．
又a＜b+c=1．
∴a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真试卷(专家版一)数学