一．概念描述

现代数学：对称是指图形或物体对某一点、某条直线或某个平面的反射运动，在形状、大小、长短和排列等方面都相等或相当，具有一一对应的关系。

小学数学：在小学教材中没有对对称给出明确的定义，但小学阶段要求学生能结合具体实例认识对称，其中重点认识轴对称图形。

学生通过动手操作，知道一个图形通过对折，左右两边完全重合的图形是轴对称图形。（如下图）

二．概念解读

数学上是先定义一个点对一条直线（对称轴）的对称点，再定义一个图形对一条直线（对称轴）的对称图形，最后才透过如果一个图形对直线L（对称轴）的对称图形是自己本身的特殊情况，引入对称图形及对称轴的意义。

我们可以把对称理解为：图形或物体对某一点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。

对称图形可以分成很多类，比如中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形。平行四边形是中心对称图形；圆是一个最具“对称性”的图形，它既是轴对称图形，同时也是中心对称图形和旋转对称图形。教师还要认识到所有的中心对称图形，都是旋转对称图形。

对称的狭义定义为：一个物体包含若干等同部分，对应部分相等。不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原的操作，称为对称性操作，物理学中也称反演操作。对称性操作主要有：旋转、反映、反演、象转、反转。旋转和反映是基本对称操作。完成对称性操作的几何元素称为对称元素，包括：旋转轴、镜面、对称中心、映轴、反轴。对称轴和对称面是基本的对称元素。

说到对称性大家就会想到守恒性，也就会想到德国数学家艾米·诺特。他提出了著名的诺特定理—作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量，从而将对称性和守恒性这两个概念紧密地联系在一起的。诺特定理告诉我们，一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定。因此，物理学家们形成了一种思维定式：只要发现一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。

在日常生活中和在艺术作品中，“对称”有更多的含义，它常代表着某种平衡、比例和谐之意，而这又与优美、庄重联系在一起。对于科学，对称性决定了各种可能的守恒定律，因而具有更加根本性的意义。

三．教学建议

对称是现实生活中比较普遍的现象。在学生的生活中，随处可见对称的物体，如图片、建筑物、动植物、艺术品等，学生对于对称现象有一定的认知基础。

小学阶段对于对称的学习重点放在轴对称图形的认识上。具体教学建议教师可以参考轴对称教学建议。此外，在小学教材中还会涉及中心对称图形，教学中虽然不做重点研究，但教师要关注轴对称图形与中心对称图形的区别。

(1)要清楚轴对称图形与中心对称图形的区别

区分这两个概念要注意：轴对称图形要沿某直线折叠后直线两旁的部分一定会互相重合。对此关键要抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。中心对称图形是图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合。其关键也是要抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。

(2)要清楚小学课本中常见图形的归类

学生在小学阶段学习了一些基本图形，这些图形分别属于哪种对称图形，作为教师要做到心中有数。

比如既是轴对称图形又是中心对称图形的有：长方形、正方形、圆、菱形等。

只是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。

只是中心对称图形的有：平行四边形。

既不是轴对称图形又不是中心对称图形的有：不等边三角形、非等腰梯形等。

(3)要借助对称从变换的角度认识图形

从变换的角度认识图形，能够使学生感受到图形运动与图形认识的联系，有助于学生更好地认识图形。比如在认识图形的教学中，可以通过对折等活动认识图形的轴对称性；可以通过讨论图形对称轴条数的不同，从而认识到圆有无数条对称轴，感受到圆是一个最具“对称性”的图形；还可以通过对称来探索或验证图形的性质—比如，学生在认识正方形时，习惯把正方形这样对折来证明正方形的四条边相等（如下图）。

四．推荐阅读

(1)《小学数学教学策略》（张丹，北京师范大学出版社，2010）

该书第175-177页提出从变换的角度认识图形，并针对为什么学生执着于“平行四边形是轴对称图形”进行了细致的分析。

(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第189-194页从“什么是对称”、“对称的价值”两个角度进行了细致的解读。

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