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名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(四)数学试卷答案
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3.某农副产品从5月1日起开始上市,通过市场调查,得到该农副产品种植成本Q(单位:元/kg)与上市时间t(单位:天)的数据如表:
时间天 | 50 | 110 | 250 |
种植成本 | 150 | 108 | 150 |
(2)利用你选出的函数模型,求该农副产品最低种植成本及相应的上市时间.
分析由$\frac{1}{4{n}^{2}}$>$\frac{1}{4n(n+1)}$=$\frac{1}{4}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,能证明Tn>$\frac{n}{4n+4}$,由$\frac{1}{4{n}^{2}}<\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,能证明Tn<$\frac{1}{2}$.由此能证明$\frac{n}{4n+4}$<Tn<$\frac{1}{2}$.
解答证明:∵$\frac{1}{4{n}^{2}}$>$\frac{1}{4n(n+1)}$=$\frac{1}{4}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴Tn>$\frac{1}{4}$(1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$)
=$\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})$=$\frac{n}{4n+4}$,
又∵$\frac{1}{4{n}^{2}}<\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$,
∴Tn<$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)<$\frac{1}{2}$.
∴$\frac{n}{4n+4}$<Tn<$\frac{1}{2}$.
点评本题考查关于数列的前n项和的不等式的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意放缩法的合理运用.
名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(四)数学