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2023年九师联盟高三年级4月质量检测（L）数学试卷答案

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4．计算：
（1）（0.0081）${\;}^{-\frac{1}{4}}$一[3×（$\frac{7}{8}$）⁰]^-1×[81^-0.25+（$\frac{27}{8}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$]${\;}^{-\frac{1}{2}}$-10×0.027${\;}^{\frac{1}{3}}$；
（2）已知x+y=12，xy=9，且x＜y，求$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}-{y}^{\frac{1}{2}}}$．

分析利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把：
（1）设P（x，y），由题设可知，则$x=\frac{2}{3}|AB|cos（π-α）=-2cosα$，$y=\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）=sinα$，即可得出参数方程；
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲线T的极坐标方程ρ=-4sinθ即ρ²=-4ρsinθ，化为直角坐标方程，再利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答解：（1）设P（x，y），由题设可知，则$x=\frac{2}{3}|AB|cos（π-α）=-2cosα$，$y=\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）=sinα$，
∴曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α为参数，$\frac{π}{2}＜α＜π$）．
（2）由曲线T的极坐标方程为ρ=-4sinθ，化为ρ²=-4ρsinθ，
可得：直角坐标方程为x²+y²=-4y，即x²+（y+2）²=4，是圆心为A（0，-2）半径为2的圆，
故|PA|²=（-2cosα）²+（sinα+2）²=4cos²α+sin²α+4sinα+4=$-3{sin^2}α+4sinα+8=-3{（sinα-\frac{2}{3}）^2}+\frac{28}{3}$．
当$sinα=\frac{2}{3}$时，|PA|取得最大值$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．
∴|PD|的最大值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$+2．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2023年九师联盟高三年级4月质量检测（L）数学