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2023届重庆市高三第二次诊断性考试（重庆二诊）数学试卷答案

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17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+1）^{x}-1，x≤1}\\{1+lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$，（a＞0且a≠1）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）的一个零点为2，求实数a．

分析利用换底公式，可得log₂3=$\frac{lg3}{lg2}$=a，log₃5=$\frac{lg5}{lg3}$=$\frac{1-lg2}{lg3}$=b，进而lg2=$\frac{1}{ab+1}$，lg3=$\frac{a}{ab+1}$，再结合换底公式，可用a、b表示log₁₅20．

解答解：∵log₂3=$\frac{lg3}{lg2}$=a，log₃5=$\frac{lg5}{lg3}$=$\frac{1-lg2}{lg3}$=b，
∴lg2=$\frac{1}{ab+1}$，lg3=$\frac{a}{ab+1}$
∴log₁₅20=$\frac{lg20}{lg15}$=$\frac{1+lg2}{lg3+lg5}$=$\frac{1+lg2}{lg3+（1-lg2）}$=$\frac{1+\frac{1}{ab+1}}{\frac{a}{ab+1}+（1-\frac{1}{ab+1}）}$=$\frac{ab+2}{a+ab}$

点评本题考查的知识是对数的运算性质，换底公式，方程思想，难度中档．

2023届重庆市高三第二次诊断性考试（重庆二诊）数学