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安徽省2023年全椒县九年级一模考试数学试卷答案

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8．函数$y={log_2}（-{x^2}+4x+32）$的定义域为集合A，函数g（x）=2^x-a，x∈（-∞，2）的值域为集合B
（1）求集合A、B；
（2）若集合A、B满足A∪B=A，求实数a的取值范围．

分析问题可化为y=-t²+t+2（0≤t≤1）的最值，由二次函数区间的最值可得．

解答解：由题意可得y=1-cos²x+cosx+1=-cos²x+cosx+2，
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴0≤cosx≤1，
设t=cosx，则y=-t²+t+2（0≤t≤1）
∵关于t的二次函数开口向下，对称轴$t=-\frac{1}{2×（-1）}=\frac{1}{2}$，
∴函数y=-t²+t+2在$[0，\frac{1}{2}]$上为增函数，在$（\frac{1}{2}，1]$上为减函数，
∴当$t=\frac{1}{2}$时，${y_{max}}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，
此时$cosx=\frac{1}{2}$，$x=\frac{π}{3}$或$-\frac{π}{3}$，集合为$\left\{{\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}}\right\}$；
当t=1或t=0时，y_min=2，时cosx=0或cosx=1
此时$x=\frac{π}{2}$或$-\frac{π}{2}$或x=0，集合为$\left\{{\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}，0}\right\}$

点评本题考查三角函数的最值，换元并转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．

安徽省2023年全椒县九年级一模考试数学