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河南省2023年春期高中一年级期中质量评估数学试卷答案

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12．定义在D上的函数f（x）若同时满足：①存在M＞0，使得对任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜M；②f（x）的图象存在对称中心．则称f（x）为“P-函数”．
已知函数f₁（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$和f₂（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），则以下结论一定正确的是（　　）

	A．	f1（x）和 f2（x）都是P-函数		B．	f1（x）是P-函数，f2（x）不是P-函数
	C．	f1（x）不是P-函数，f2（x）是P-函数		D．	f1（x）和 f2（x）都不是P-函数

分析（1）由数列的前n项和求出通项，然后利用定义证明数列{a_n}是等差数列；
（2）把（1）中的通项公式代入b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，可得数列{b_n}是等比数列，并求出首项和公比，则其前n项和可求．

解答（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$，
当n=1时上式成立，
∴a_n=2n-1，
此时a_n+1-a_n=2（n+1）-1-2n+1=2．
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）解：a_n=2n-1，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
∴数列{b_n}是以b₁=2为首项，公比q=4的等比数列．
∴数列{b_n}的前n项和${T}_{n}=\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{2}{3}•{4}^{n}-\frac{2}{3}$．

点评本题考查等差数列、等比数列的前n项和，是基础的计算题．

河南省2023年春期高中一年级期中质量评估数学