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[永州三模]永州市2023年高考第三次适应性考试数学试卷答案

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14．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当$x∈[\frac{π}{12}，π]$时，求g（x）的值域．

分析（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得最值，进而得到所求值域．

解答解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
因为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）．
解得函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由（1）可知，f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{12}$]上单调递增，
在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上单调递减，且一条对称轴方程为x=$\frac{π}{12}$，
f（x）最大值为f（$\frac{π}{12}$）=2，最小值为f（-$\frac{π}{4}$）=-1，
所以f（x）∈[-1，2]，即f（x）的值域是[-1，2]．

点评本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的周期和单调性，以及值域的运用，考查运算能力，属于中档题．

[永州三模]永州市2023年高考第三次适应性考试数学