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天一大联考皖豫名校联盟体2023届高中毕业班第三次考试数学试卷答案

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9．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$-1（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．

分析（1）根据余弦函数的图象即可得到结论，
（2）根据复合函数的单调性即可判断．

解答解：（1）y=cos4x，
∴-π+2kπ≤4x≤2kπ，2kπ≤4x≤2kπ+π，k∈Z，
∴-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴y=cos4x在[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]上单调递增，在[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，上单调递减．
（2）y=3sinx-cos²x═3sinx-1+sin²x=（sinx+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
∵-1≤sinx≤1，
设t=sinx，
∴y=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{4}$在[-1，1]上单调递增，
∵t=sinx在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，上单调递减，
∴y=3sinx-cos²x在[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z上单调递减．

点评本题考查正弦函数余弦函数的图象和性质，以及复合函数的单调性，属于基础题．

天一大联考皖豫名校联盟体2023届高中毕业班第三次考试数学