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智慧上进·2023年高一年级下学期期中调研测试数学试卷答案

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8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线1是圆O：x²+y²=2上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB．

分析根据对数函数性质，f（x）=log_ax，当a＞1时，函数为增函数，当0＜a＜1时，为减函数，且log_a1=0，即可判断．

解答解：根据对数函数性质，f（x）=log_ax，当a＞1时，函数为增函数，当0＜a＜1时，为减函数，且log_a1=0，
故${log}_{{5}^{3}}$＜${log}_{{5}^{7}}$；
${log}_{{8}^{1}}$=${log}_{{7}^{1}}$；
${log}_{{\frac{1}{2}}^{5}}$＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{5}$，
ln0.3＜0；
${log}_{{0.1}^{2}}$＜0；
lg$\frac{1}{3}$＜lg10．
故答案为：＜，=，＜，＜，＜，＜

点评本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．

智慧上进·2023年高一年级下学期期中调研测试数学