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2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练四4(全国卷)数学试卷答案

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9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上存在一点 P满足$∠{A}{P}F=\frac{π}{2}$，F为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（　　）

A．

$（{0，\frac{1}{2}}）$

B．

$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$

C．

$（{\frac{1}{2}，1}）$

D．

$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

分析由已知数列递推式求出a₂，再把数列递推式变形后可得数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得答案．

解答解：由S_n=2a_n+1+n，①得
S_n+1=2a_n+2+n+1，②
②-①得a_n+1=2a_n+2-2a_n+1+1，
即${a}_{n+2}=\frac{3}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+2}+1=\frac{3}{2}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{1}{2}（{a}_{1}-1）=0$，
则a₂+1=1≠0．
∴数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列．
则当n≥2时，${a}_{n}+1=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n-2}}{1-\frac{3}{2}}$=$2-（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
即${a}_{n}=1-（\frac{3}{2}）^{n-2}$（n≥2）．
验证n=1上式不成立．
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{1-{{（\frac{3}{2}）}^{n-2}}（n≥2）}\end{array}}\right.$．

点评本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．

2023年普通高等学校招生全国统一考试考前演练四4(全国卷)数学