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安师联盟2023年中考摸底考试（5月）数学试卷答案

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14．定积分$\int_1^e{（{\frac{1}{x}+{e^x}}）}$dx=e^e-e+1．

分析由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．

解答解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，
∵V_棱锥S-ABCD=$\frac{1}{3}$•a²•h=9，
∴a²=$\frac{27}{h}$，
∵正四棱锥内接于球O，
∴O在直线SM上，设球O半径为R，
（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM-SO=h-R，
（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO-SM=R-h，
∵SM⊥平面ABCD，
∴△OMB是直角三角形，
∴OM²+MB²=OB²，
∵OB=R，MB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴（h-R）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²，或（R-h）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²
∴2hR=h²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即R=$\frac{h}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4h}$=$\frac{h}{2}$+$\frac{27}{4{h}^{2}}$=$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+\frac{27}{4{h}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{27}{64}}$=$\frac{9}{4}$．
当且仅当$\frac{h}{4}$=$\frac{27}{4{h}^{2}}$取等号，
即h=3时R取得最小值$\frac{9}{4}$．
故选：A．

点评本题考查了正棱锥与其外接球的结构特征，寻找球的半径与棱锥底面边长的关系是解题关键．

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