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2023届全国普通高等学校招生统一考试(新高考)JY高三终极一考卷(二)数学试卷答案
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9.不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ($\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$)对任意非负实数a.b恒成立,则正数λ的取值范围为( )
A. | (0,1] | B. | (0,$\frac{\sqrt{6}}{2}$] | C. | (0,$\sqrt{2}$] | D. | (0,2] |
分析令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,所以f(x)=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,从而求函数的值域.
解答解:令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,t2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
∴f(x)=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,
∴-1≤(t+1)2-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$;
即函数f(x)=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
故答案为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
点评本题考查了换元法与配方法求函数的值域,属于基础题.
2023届全国普通高等学校招生统一考试(新高考)JY高三终极一考卷(二)数学