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山西省2023年中考押题预测数学试卷答案

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1．给出以下四个命题：
①已知命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0，则命题p且q是真命题；
②命题“若m≤1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题；
③命题“x≥1，则x²≥1”的逆命题；
④命题“面积相等的三角形全等”的否命题．
其中正确命题的序号为①②④．（把你认为正确的命题序号都填上）

分析（1）由已知条件利用等差数列性质列出方程组求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和法能证明T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃+a₄=16，S₇=63，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d+{a}_{1}+3d=16}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=63}\end{array}\right.$，
解得${a}_{{1}_{\;}}$=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和：
T_n=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{3}{4n+6}$$＜\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

山西省2023年中考押题预测数学