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2023年河北省初中毕业生升学文化课模拟测评(十二)数学试卷答案

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5.古籍中有许多与农业生产有关的记载。《救荒简易书》中记载“冬葵菜苗壮大,笼罩一切,种于草中,草不能为之害也”;《诗经》中记载“田祖有神,乘界炎火”;东汉王充的《论衡》记载“藏宿麦之种,烈日乾暴,投于燥器,则虫不生”;《周礼·秋官》记载“除蠹物(蛀食器物的虫类),以莽草熏之,凡庶的是蛊之事”。下列分析错误的是A.冬葵菜在与杂草的竞争中占优势,其生长速度较快B.“田祖有神,乘界炎火”利用趋光性消灭害虫,属于生物防治C.“烈日乾暴,投于燥器,则虫不生”,说明害虫的种群数量变化受密度制约因素影响D.“除蠹物,以莽草熏之”是利用化学防治的方法消灭害虫

分析（Ⅰ）若圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．

解答解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x-y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），
因为圆C的半径为1，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，
所以圆心C到直线x-y+3=0的距离$d=\sqrt{{1^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$d=\frac{{|{a-3a+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，所以$\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．
所以圆C的标准方程为：（x-1）²+（y-3）²=1或（x-2）²+（y-6）²=1．（6分）
（Ⅱ）设圆A：x²+（y-3）²=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．
由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：$1＜\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$，
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＞1$整理得5a²-9a+4＞0，解得$a＜\frac{4}{5}$或a＞1；
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$整理得5a²-9a＜0，解得$0＜a＜\frac{9}{5}$．
所以$0＜a＜\frac{4}{5}$或$1＜a＜\frac{9}{5}$．（6分）

点评本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．

2023年河北省初中毕业生升学文化课模拟测评(十二)数学