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【考前押题】九师联盟2023年高三6月联考（XG）数学试卷答案

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3．已知函数f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
（1）求函数的最小正周期．
（2）求出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，求x₁+x₂．

分析（1）作出可行域，z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示区域内的点到D（0，5）的距离平方，数形结合可得；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$表示区域内的点与E（-1，-1）连线的斜率，数形结合可得．

解答解：（1）作出$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影△ABC），
z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示区域内的点到D（0，5）的距离平方，
数形结合可得D到直线x-y+2=0的距离d=$\frac{|0-5+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴z的最小值为（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$可解得C（7，9），
由两点间的距离公式可得DC=$\sqrt{{7}^{2}+（9-5）^{2}}$=$\sqrt{65}$，
∴z的最大值为（$\sqrt{65}$）²=65；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$表示区域内的点与E（-1，-1）连线的斜率，
数形结合可得当直线经过点B（3，1）时z取最小值$\frac{1}{2}$，
当直线经过点A（1，3）时z取最大值2．
∴z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1]

点评本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

【考前押题】九师联盟2023年高三6月联考（XG）数学