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2023年安徽A10联盟高二6月联考数学试卷答案

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5．已知函数g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）若f（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$），证明f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．

分析由题意画出图形，利用椭圆定义把|PM|-|PF₂|转化为|PM|-（2a-|PF₁|）=（|PM|+|PF₁|）-4．然后求出|MF₁|得答案．

解答解：如图，
由椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a=2，2a=4．
由椭圆定义知：|PF₂|=2a-|PF₁|，
∴|PM|-|PF₂|=|PM|-（2a-|PF₁|）=（|PM|+|PF₁|）-4．
连接MF₁ 交椭圆于P，则P为满足条件的点．
此时|PM|+|PF₁|最小，则（|PM|+|PF₁|）-4最小．
∵F₁（-1，0），M（3，3），
∴$|M{F}_{1}|=\sqrt{（3+1）^{2}+（3-0）^{2}}=5$，
∴|PM|-|PF₂|的最小值为1．
故选：C．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆中最值的求法，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．

2023年安徽A10联盟高二6月联考数学