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陕西省2022-2023高一期末考试质量监测(标识✰)数学试卷答案

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13.在一个群落中,当一个早到物种耗尽系统资源,从而抑制了晚到物种在该群落的建立,这种情况称为“抢占生态位”;当一个早到物种改变环境,使另一个晚到物种受益的情况称为“促进生态位”;当一个早到物种改变了环境状况(而不是资源水平),以减缓或阻止晚到物种在该系统的建立,这种情况称为“抑制生态位”。下列相关叙述错误的是A.要研究某种植物的生态位,通常要研究它的种群密度、植株高度、在研究区域内出现的频率等

分析（1）求出导函数，推出g（x）的表达式，利用函数的奇偶性推出a，b的值即可．
（2）求出函数的极值点，利用函数的单调性，以及端点的函数值求出最值即可．

解答解：（1）由题意得f′（x）=3ax²+2x+b，∴g（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
又∵g（x）是奇函数，∴$\left\{\begin{array}{l}3a+1=0\\b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\b=0\end{array}\right.$，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²．…（6分）
（2）由（1）可知g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2x，∴g′（x）=-x²+2，令g′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
列表：
x（-∞，-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$，+∞）

g′（x）

–

0

+

0

–

g（x）

↘

极小值-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

↗

极大值$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

↘…（10分）
又g（1）=$\frac{5}{3}$＜g（$\sqrt{2}$），g（2）=$\frac{4}{3}$，
所以g（x）在区间[1，2]上的最大值为g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
最小值为g（2）=$\frac{4}{3}$．…（13分）

点评本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性的判断与应用，利用导数求解函数在闭区间上的最值，考查分析问题解决问题的能力．

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