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安徽鼎尖教育2023届高二7月期末考数学试卷答案

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10.中华穿山甲一般生活在气候温暖湿润的南方,栖息地一般长有大量的乔木、灌木、草本植物,且食物(蚂蚁、白蚁等)丰富。近些年它的栖息地丧失、碎片化是该物种在我国濒危的主要原因。下列有关说法错误的是A.栖息地中的乔木、灌木与草本植物之间存在种间竞争关系B.研究中华穿山甲和蚂蚁、白蚁的关系不属于生态位的研究范畴C.栖息地的碎片化不利于中华穿山甲种群基因库的稳定D.针对中华穿山甲最有效的保护措施是建立自然保护区

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．

安徽鼎尖教育2023届高二7月期末考数学