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2024届名师原创分科模拟 新S4(三)数学试卷答案

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15．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对象x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P．现给出如下结论：
①f（x）=2x²，在[1，3]上具有性质P；
②f（x²）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质P；
③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
④若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
其中正确结论的序号是①④．

分析（1）由x为三角形最小角可得0$＜x≤\frac{π}{3}$，然后利用向量垂直列出方程解出x，代入向量坐标求出；
（2）化简得f（x）=sin²$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2．然后根据x的范围结合正弦函数的性质求出最值．

解答解：（1）∵x为△ABC中最小的角，∴0$＜x≤\frac{π}{3}$，
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，∴sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，即sin3x=1．
∴3x=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$．
∴$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$．-$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=sin$\frac{3x}{2}$（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$）+$\frac{3}{2}$=sin²$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos3x}{2}-\frac{1}{2}sin3x+\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin3x-$\frac{1}{2}$cos3x+2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴3x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴当3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，f（x）取得最大值$\frac{5}{2}$．
∴f（x）的值域是[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评本题考查了平面向量的数量积运算及三角函数的恒等变换，求出x的范围是关键．

2024届名师原创分科模拟 新S4(三)数学