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1、 1 第第 23 讲讲 最值问题最值问题 知识与方法知识与方法 求最值（范围）问题解题的一般步骤是：（1）设直线的方程为ykxb=+或xmyt=+、点的坐标；（2）将直线的方程代入圆锥曲线中，计算弦长、点到直线的距离等中间量；（3）将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式；（4）运用函数、均值不等式等基本方法求出最值（范围）.典型例题典型例题 1.（）已知点()0,2A，椭圆()2222:10 xyEabab+=的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为2 33，O 为坐标原点.（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P、Q 两点，当OPQ的面积

2、最大时，求 l 的方程.【解析】（1）若 F 为左焦点，则直线 AF 的斜率为负数，不合题意，所以 F 为右焦点，故可设(),0F c，则202 303AFkc=，解得：3c=，又椭圆E的离心率32cea=，所以2a=，从而2221bac=，所以椭圆 E 的方程为2214xy+=.（2）解法 1：当直线 l 斜率存在时，O、P、Q 才能构成三角形，故可设直线 l 的方程为2ykx=，设()11,P x y，()22,Q xy，联 立22214ykxxy=+=消 去y整 理 得：()221416120kxkx+=，判别式()()()222164 141216 430kkk=+=，所以32k 或3

3、2k，2221224 431114kPQkxxkk=+=+，原点 O 到直线 l 的距离221dk=+所以 22222222214 434344414214434443434343OPQkkSPQ dkkkkkk=+当且仅当2244343kk=时取等号，即72k=，满足0 所以当OPQ的面积最大时，直线 l 的方程为722yx=.解法 2：当直线 l 斜率存在时，O、P、Q 才能构成三角形，故可设直线 l 的方程为2ykx=，2 设()11,P x y，()22,Q xy，联立22214ykxxy=+=消去 y 整理得：()221416120kxkx+=，判别式()()()222164 141

4、216 430kkk=+=，所以32k 或32k，从而()2212122216 4314 4321414OPQkkSOAxxxxkk=+，下同解法 1.2.（）平面直角坐标系xOy中，过椭圆()2222M:10 xyabab+=右焦点的直线30 xy+=交 M 于A、B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（1）求 M 的方程；（2）C、D 为 M 上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.【解析】（1）联立030yxy=+=解得：3x=，由题意，椭圆 M 的右焦点为()3,0F,设()11,A x y，()22,B xy，则2211222222

5、2211xyabxyab+=+=，两式作差得：22221212220 xxyyab+=整理得：2121221212yyyybxxxxa+=+，即()22112OPABbkka=，又223ab=+，解得：26a=，23b=，故椭圆 M 的方程为22163xy+=.（2）因为CDAB，故可设直线 CD 的方程为yxm=+，设()33,C x y，()44,D xy，联立22163yxmxy=+=消去 y 整理得：2234260 xmxm+=判别式()()222443 267280mmm=，所以33m，3 从而234728223mCDxx=联立2230163xyxy+=+=消去 y 整理得：234

6、30 xx=，解得：4 33x=或 0，所以124 33xx=，故124 623ABxx=所以2211 4 67284 3272822339ACBDmSABCDm=，故当0m=时，四边形ACBD的面积取最大值8 63.3.（）设圆222150 xyx+=的圆心为 A，直线 l 过点()1,0B且与 x 轴不重合，1 交圆 A 于 C、D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（1）证明EAEB+为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（2）设点 E 的轨迹为曲线1C，直线 l 交1C于 M、N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A交于 P、Q 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】（1）将圆 A 化为标准方程得：()22116xy+=，故()1,0A，半径4r=，如图 1，由题意，BEAC，所以EBDACD=，又4ACAD=，所以ACDADC=从而EBDADC=，故EBED=，所以4EAEBEAED+=+=为定值，故点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，其方程为22143xy+=，又 l 不与 x 轴重合，所以2x .（2）如图 2，可设直线 l 的方程为1xm

16.补写出下列句子中的空缺部分。(1)白居易《琵琶行》中,以““,”两句描写作为过渡,后转入琵琶女“自言”的情境中,叙写琵琶女的身世。,然(2)韩愈《师说》中,提出教师的职能后,接着紧扣“惑”字阐明了不从师的危害的句子是:“,(3)道儒两家都曾用行路来形象地论述了积累的重要性。《老子》中说“千里之行,始于足下。”荀子在《劝学》中说“,”。

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