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1、 1 第第 21 讲讲 定值问题定值问题 知识与方法知识与方法 定值问题主要有计算型定值问题、探究型定值问题两类，解题的一般步骤为：（1）设出直线的方程ykxb=+或xmyt=+、点的坐标；（2）通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；（3）将上述中间结果代入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数.提醒：在探究型定值问题中，常见的是比例型定值，例如，当 x 发生变化时，22AxBCxD+为定值ABCD=.典型例题典型例题 1.（）已知椭圆 C 的两个顶点分别为()2,0A、()2,0B，焦点在 x 轴上，离心率

2、为32.（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M、N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证：BDE与BDN的面积之比为 4:5.【解析】（1）由题意，2a=，2232abea=，故1b=，所以椭圆 C 的方程为2214xy+=.（2）设()0,0D x，022x，()00,M x y，()00,M xy，00y，直线 AM 的斜率为002yx+.因为DEAM，所以直线 DE 的斜率为002xy+，故直线 DE 的方程是()0002xyxxy+=，直线 BN 的方程是()0022yyxx=，联立()()000002

3、22xyxxyyyxx+=消去 x 整理得：00000222xyyxyx+=+，解得：()200220044xyyxy=+，即()200220044Exyyxy=+，又220014xy+=，所以220014xy=，故()20002200445414Exyyyxx=+，由图可知004455BDEEBDNNySySyy=，即BDE与BDN的面积之比为 4:5.2.（2020北京20）2 已知椭圆2222:1xyCab+=过点()2,1A，且2ab=.（1）求椭圆 C 的方程：（2）过点()4,0B 的直线 l 交椭圆 C 于点 M、N，直线 MA、NA 分别交直线4x=于点 P、Q，求PBBQ的值

4、.【解析】（1）由题意，22411ab+=，又2ab=，解得：2282ab=，故椭圆 C 的方程为22182xy+=（2）当ly 轴时，如图 1，显然 M、N 为椭圆长轴端点，不妨设()2 2,0M，()2 2,0M，作 AT 垂直于直线4x=于 T，则PATPMB，所以ATPTBMPB=，即1242 2pPyy=+，解得：2Py=，同理QBNQTA，所以QBBNQTTA=，故42 212QQyy=+，解得：2Qy=，所以1PQPByBQy=，当 l 不与 y 轴垂直时，如图 2，设()11,M x y，()22,N xy，直线 MN 的方程为4xmy=，联立221824xyxmy=+=消去

5、x 整理得：()224880mymy+=，判别式()22644480mm=+，解得：2m 或2m ，由韦达定理，12284myym+=+，12284my ym=+，直线 MA 的方程为()111122yyxx+=+，令4x=可得()11111121121212422myyyyxmymy+=+所以()1122pmyymy+=，同理可得()2222Qmyymy+=所以()()()()()()122112121222222222PQymyymyyyyymmmymymymy+=+=+3 ()()()()12121222222my yyymmymy+=+因为()121222882222044my yyy

6、mmm+=+，所以0PQyy+=，从而PQyy=，故1PQPByBQy=.3.（）已知抛物线2:2C ypx=经过点()1,2P，过点()0,1Q的直线 l 与抛物线 C 有 2 个不同的交点A、B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.（1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QMQO=，QNQO=，求证：11+为定值.【解析】（1）由题意，222p=，所以2p=，故抛物线 C 的方程为24yx=，设直线 l 的方程为1ykx=+，则联立214ykxyx=+=消去 x 整理得：2440kyy+=，因为直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A、B，所以016160kk=，解得：0k 或01k，又 PA、PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点()1,2，从而3k ，所以()()(),33,00,1k .（2）设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知124yyk+=，124y yk=，所以()222121212122242444yyy yyyxxkk+=+=，22212121221444yyy yx xk=，直线 PA 的斜率1

4.科学家在对黄化豌豆幼苗切段的实验研究中发现,低浓度生长素促进细胞伸长,高浓度生长素抑制细胞伸长,生长素对细胞生长调节的机理如下图。相关叙述正确的是()A.生长素主要通过控制乙烯的合成参与细胞代谢,调控细胞的伸长

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