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百师联盟2025届高二年级模拟考试（湖南卷）数学.试卷答案

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10.如图所示,质量为m的物块A套在竖直固定、粗细均匀的光滑杆上,绕过定滑轮的细线一端连接物块A,另一端吊着质量为3m的重物B,开始时用外力使A静止,这时连接物块A的细线与竖直方向的夹角=45^,,杆上P点与滑轮等高,P点到滑轮的距离为d,重力加速度为g,撤去外力,滑块A由静止向上运动到P点的过程中BD)A.物块A的速度一直增大B.物块B先失重后超重G、物块B的机械能一直减小D.物块A运动到P点时速度大小为,(62-8)gd

分析先根据△ABF₁为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答解：如图，△ABF₁为等腰三角形，∴AF₁=AB=AF₂+F₂B，
∴AF₁-AF₂=F₂B=2a，
∵BF₁-BF₂=2a，∴BF₁=4a，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴∠F_′F₂B=60°
∵F₁F₂=2C，在三角形F₁F₂B中，根据余弦定理得：
（4a）²=（2a）²+（2c）²-2•（2a）•2c•cos60°
整理得，3a²+ac-c²=0同除以a²得，$（\frac{c}{a}）^{2}$-$\frac{c}{a}$-3=0，
即e²-e-3=0，解得${e}_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，${e}_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍）．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．

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