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百师联盟2024届高三开学摸底联考（新教材90分钟）数学.试卷答案

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14.（13分)如图，质量为m=0.4g的小球从平合上水平抛出后，落在倾角高鼠心如图，光滑轨道bd固定在竖直平面内，b水平，bcd为半圆，15.(17分)9=53°的斜面顶端A点，并恰好无碰撞的沿斜面滑下，从斜面最低点B平滑进人半径R05m的光滑圆弧轨道8CD,通过与圆心大着质量分别为m,=2g、网，=e的物块A、B(均可提为点圆弧轨道的半径R=032m,在b处与ab相切

在直轨道ab上放0等高的D点后做竖直上抛运动

已知斜面AB的动摩擦因数4号，A点与平台的离度差A=08m,斜面的我度H-64n不代S用轻质细绳将A、B连接在一起，且小、B间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接）

轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量为计空气阻力，小球可视为质点，取g=10m/s2,sim53°=0.8，M=2kg、足够长的小车，小车上表面与b等高

现将细绳剪断，c0s53°=0.6，求：升0，之后A向左滑上小车且恰好没有掉下小车，B向右滑动且恰好能(1)斜面顶端与平台边缘的水平距离x:平木处景部冲到圆弧轨道的最高点d处

物块A与小车之间的动摩擦因数(2)小球第一次通过最低点C时对轨道的压力大小；事4=02,重力加速度g=10m/s2

求：(3)小球第一次通过D点后再上升的高度

始已哭支，六(1)物块B运动到圆弧轨道的最低点b时对轨道的压力大小；（2)细绳剪断之前弹簧的弹性势能E

:(3)小车长度L和物块A在小车上滑动过程中产生的热量

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分析利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M₁，M₂，M₃，…M₁₃的坐标，从而可求|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|的值．

解答解：∵y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）=2cosxsinx=sin2x，
∴由题意得：sin2x=$\frac{1}{2}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=$\frac{1}{2}$在y轴右侧的交点自左向右依次记为M₁，M₂，M₃，…，
∴得M₁（$\frac{π}{12}$，0），M₂（$\frac{5π}{12}$，0），M₃（π+$\frac{π}{12}$），M₄（π+$\frac{5π}{12}$），…M₁₃（6π+$\frac{π}{12}$，0），
∴$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$=（6π，0），
∴|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|=6π．
故选A．

点评本题考查了函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M₁，M₁₃的坐标是关键，属于中档题．

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