幂函数基本初等函数

幂函数是基本初等函数之一。

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

中文名

幂函数

外文名

power function

类型

基本初等函数

适用范围

数理科学

定义

形如y=x^a(a为常数）的函数

定义域和值域及其奇偶性

幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时：a>0，定义域为[0，+∞)；a<0，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为

（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，如，，等，定义域、值域均为R，为奇函数；

（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，如，， 等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如，等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；

（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如，等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如，等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；

（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如，等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。

幂函数

性质

正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1，1）（0，0）；

b、函数的图像在区间[0，+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1，1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0，1）。它的图像不是直线。

幂函数

讨论分析

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

（1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；

③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；

当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

（4）在（0，1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

特性

对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果 ，q和p都是整数，则，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则 ，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

α小于0时，x不等于0；

α的分母为偶数时，x不小于0；

α的分母为奇数时，x取R。

参考资料

1.3.3 幂函数教学设计·人教网

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