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九师联盟2023-2024学年高三9月质量检测（L）数学.试卷答案

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不设日主相是在部分款流大华设高妆展天是高校热执的作务饿年，月主报有生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节自主招生连地0也物得招生表是某高收从208年起金2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的闲生人数年份2018数学2019物理化学总计617202075188520216520920228211623请根据表格回答下列问题：986统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系，记x为年份与2017的差，y为当学、物理和化学的招生总人数，试用鼎小乘法建立y关于x的线性回归方程，并以比预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数（结果四舍五入保留整数）：在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强(2)1基计划录取结果进行抽检此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审，记选取到数学专业的学生人数为X,果随机变量X的数学期塑X)经统计该校学生的本利学习年限比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕(3)业的占8%现从2018到202年间通过上达方式液该粒录取的学生中随机抽取1名

若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率附：y-x+a为回归方程，6-合线-列a=可-旅-列21.(本题满分12分)已知点A3,V万)在离心率为2,5双曲线C上，过点M1,0)的直线交曲线C于D,E两点(D,E均在第四象限)，直线AD,AE分别咬直线x=1于P,(2)若△4P9的面积为42，求直线1的方程(1)求双曲线C的标准方程；Q两点.22(本圆海分12分)已知函数/()-产n-1(aeR),口者历数不女证明与*与>的(1)当a=1时，求/)的单调区间，(其中e≈271828是自然对数的底数)高三数学试题卷第4页共4页

分析（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存，设l：y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，代入直线OP的方程求得k值，再由弦长公式求出
|AB|，再由点到直线的距离公式求出O到AB的距离，然后利用配方法求出使△OAB的面积最大时的m值，则直线l的方程可求．

解答解：（Ⅰ）由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）如图，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设l：y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-8}{1+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$k（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）+2m$=$\frac{-8{k}^{2}m+2m+8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$．
∴AB的中点D为（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}，\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
OP所在直线方程为y=$\frac{1}{2}x$，
∵线段AB的中点D在直线OP（O为坐标原点）上，
∴-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，即k=-$\frac{1}{2}$．
∴l：y=-$\frac{1}{2}$x+m．
则|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{4-{m}^{2}}$．
O到直线l的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|•d=$\sqrt{-{m}^{4}+4{m}^{2}}$．
∴当m²=2，（S_△OAB）_max=2．
此时直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}$x$±\sqrt{2}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的方程后，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，是中档题．

九师联盟2023-2024学年高三9月质量检测（L）数学.