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2024年河南省重点中学内部模拟试卷（二）数学试卷答案

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材料二新中国成立前后，为巩固和建设边疆，中国采取了多样的政策措施对边疆进行治理

《中国人民政治协商会议共同纲领》作为新中国建国的政治纲领，对民族政策做了全面规定

指出“中华人民共和国境内各民族一律平等，实行团结互助”，“各少数民族地区，应实行民族的区域自治”

新中国成立初期，中国派遣民族访问团赴西南、内蒙、东北等民族地区进行的民族政策宣讲，积极争取边疆各少数民族对新中国的认识和了解，实现新生政权的稳固

与此同时，中央人民政府下发《中央人民政府关于处理带有歧视或侮辱少数民族性质的称谓、地名、碑碣、匾联的指示》，禁止民族间的歧视和侮辱

为实现共同纲领民族政策的需要进行培养民族干部，在北京设立中央民族学院，原新疆学院改称民族学院

截至1952年6月，全国已建立各级民族自治区共130多个，自治区内少数民族人口约计450万人

一摘编自白江波《新中国成立以来我国边疆治理政策概述》材料三民族工作在国家治理中占有重要地位

“各民族一律平等，铸牢中华民族共同体意识，实现共同团结奋斗、共同繁荣发展”，是从社会主义制度和治理体系整体优势高度对民族区域自治制度优势的集中概括

…以促进民族团结为核心，以实现各民族共同发展繁荣为目标，以社会治理现代化新理念为指引，进一步提升治理能力现代化水平，切实把民族区域自治制度的优势转化为民族地区的治理效能

一摘编自陈亚联《把民族区域自治制度优势转化为治理效能》(1)根据材料一并结合所学知识，概括明朝对南北边疆治理的不同措施并分析其积极意义

(6分)(2)根据材料二并结合所学知识，说明新中国成立前后中国治理边疆的主要特点

(6分)(3)新时代提升民族地区治理体系和治理能力现代化水平，首先要充分认识到民族区域自治制度的显著优势

根据材料三，结合所学，简述民族区域自治制度的优势

(5分)第8页共8页

分析（1）运用椭圆的定义和范围，可得a+c=2+$\sqrt{2}$，bc=1，a²-b²=c²，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）由两直线垂直的条件可设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由中点坐标公式，可得MN的中点，代入垂直平分线方程可得t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，再由点到直线的距离公式，可得O到直线MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，可得△OMN的最大值．

解答解：（1）△MF₁F₂的周长是2$\sqrt{2}$+2，
即为|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
由△MF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|y_M|•2c=c|y_M|≤bc，
即有bc=1，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0，
即有直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t，
代入椭圆方程可得，（2+λ²）y²-2λ²ty+λ²t²-2=0，
△=4λ⁴t²-4（2+λ²）（λ²t²-2）＞0，
y₁+y₂=$\frac{2{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$，
MN中点为（$\frac{2tλ}{2+{λ}^{2}}$，$\frac{{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$），
代入MN的垂直平分线可得，t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$，
即有y₁+y₂=-1，y₁y₂=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$=$\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{1-4•\frac{（2-{λ}^{2}）^{2}}{4{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$
=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{λ}^{2}-4}{{λ}^{2}（2+{λ}^{2}）}}$，
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|λt|}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2+{λ}^{2}}{2|λ|\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
则△0MN面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{\frac{（6{λ}^{2}-4）（2+{λ}^{2}）}{{λ}^{4}}}$
=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{6-\frac{8}{{λ}^{4}}+\frac{8}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{8-8（\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}}$，
当λ=±$\sqrt{2}$，△OMN的面积取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足判别式大于0．
故△OMN的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．

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