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青海省2024届高三年级4月联考（◎）数学试卷答案

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10,克义城为0，的孟最f=5血0r-0+分(@>0，共值装为【上小，财拉的取位范留是伯方.，A0m“g层I1.如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB=2BC=1,点P为线段CD上的动点，则三棱椎P一ABB的外接球体积的最小值为4πA.√5π3B.2C.D.√6x6l2.己知a,b满足e=-ae2，,b(mb-2)=e',其中e是自然对数的底数，则ab的.值为A.e.B.-e2c.-e3D..-e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

·13.已知各项均为正数的等比数列{a,},其前n项积为T,且满足a.工，=32，则T3=14.四面体A一BCD的各棱长均相等，E,F分别为AD,BC的中点，则异面直线AB与EF所成角的大小为15.已知(x+a)(k∈N,a∈R)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且x3项的系数为-160，则a·k=16.已知函数f(x)=(1-x2a-x)的图象关于点(L,0)中心对称，若x,本2∈[m,n,使得.（出二x)儿f(:)-(x2】<0,`则f(m)-f)的最大值是三、解答题：共0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c;且a=ccosB.（I)证明：△ABC是直角三角形：(Ⅱ)若2sin2B=cosB+cos(4-C),求sinA的值.数学试题第3页/共4页

分析（I）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，代入已知点的坐标，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．

解答解：（I）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，a²-b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l的方程y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
并整理，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．（*）
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
则x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
于是$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4=0，解得k=±$\sqrt{5}$，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当k=±$\sqrt{5}$时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

点评本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．

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